수학/선형대수학

Eigenvalue & Eigenvectors :: 교유값 & 고유벡터 square matrix A에 대해 Ax = λx에 nonzero vector x가 존재할 때 (invertible 할 때) scalar λ가 eigenvalue, x는 eigenvector라고 불림 (λ, x) eigen pair eigenvalue : 고유값, eigenvector : 고유벡터 계산 eigenvalue λ, eigenvector x를 알고 싶을 때 Ax = λx ↔ (A - λI)x = 0 ↔ (A - λI) singular (x는 nonzerovector이기 때문) ↔ |A - λI| = 0 마지막 방정식을 characteristic polynomial equation(특정다항식)이라고 함→ n*n matrix ..

Cramer's rule :: 크라머르 법칙 Ax = b의 해를 구하는 방법 Elimination을 통해 구하는 방법 : numerical sol (수치적으로) Cramer’s rule을 통해 구하는 방법 : closed form sol (바로 정답을 구할 수 있음) A의 Determinant를 구할 수 있다면 해를 바로 구할 수 있음 계산 방법 위와 같은 방식으로 나머지 x의 원소에 대해서 반복 x2 = |B2|/|A| x3 = |B3|/|A| Cramer’ Rule을 통한 역함수 구하기 기본적으로 G-J(Gauss-Jorden) Elimination의 발상을 이용 A에 곱해 I가 되도록 하는 matrix의 column을 x, y, z로 쪼갬 Ax = [1 0 0]’ Ay = [0 1 0]‘ Az = ..

Determinant의 계산 방법 Pivot Formula :: 피벗 공식 PA = LU (P는 row exchange를 나타냄) |PA| = |LU| ⇒ |P||A| = |L||U| (Definition 10) ⇒ |A| = +-|U| 즉, matrix A를 upper triangular matrix가 나올 때까지 elimination과 행바꿈을 한 matrix의 determinant는 det A과 같다 Permutation Formula(Big Formula) :: 순열 공식 matrix에서 permutation matrix들을 추출 (Definition 4,9)후 행바꿈을 통해 diagonal matrix로 바꾼후 각 diagonal원소들을 곱한 값을 합침 Cofactor Formula :: 여인수..

Determinants :: 행렬식 AB = I → 언제 B의 역행렬이 존재하냐? 숫자의 세계 : ab = 1 → a = ~0 이면 성립 행렬의 세계 : AB = I → det = ~0 이면 B의 역행렬 존재 matrix invertible ↔ determinant nonzero determinant는 square matrix에 대해서만 정의됨 determinant of A : det A, |A| 정의 |A| = 1 if A is the identity |A| = |(original A)| = -|(row exchanged A)| 한번 행이 바꿀때마다 부호가 바뀜 det [a1 a2 … taj … an]’ = tdet* [a1 a2 … aj … an]’, 모든 j에 대해* det [a1 a2 … aj +..

Gram-Schmidt Process 세개의 독립된 벡터 : v1, v2, v3 orthogonal vector w1, w2, w3 생성 w1 = v1 w2 = v2 - (w1'v2/w1’w1)w1 w3 = v3 - (w1’v3/w1’w1)w1 - (w2’v3/w2’w2)w2 새로운 벡터에 전 단계에서 만든 orthogonal 벡터에 projection한 벡터를 빼면 됨 w1, w2, w3를 정규화한 q1, q2, q3 생성 q1 = w1/||w1|| q2 = w2/||w2|| q3 = w3/||w3|| QR Factoriztion :: QR 분해 m*n 독립 행 matrix A에 대해 Gram-Schmidt process한 Q와 그로 인해 만들 수 있는 n*n invertible triangular m..

Gram-Schmidt Process 1. Orthonormal Vectors 2. Orthonormal Matrix 임의의 non-orthonormal matrix로부터 orthonormal vector들을 만드는 과정 Orthonormal Vectors :: 정규직교벡터 자명하지 않은 subspace에는 많은 basis가 있고 그 중 orhogonal한 벡터도 있다. 정의 : q1, q2, …., qn 이 orthonormal하다고 가정하면 Orthonormal Matrix :: 정규직교행렬 Orthonormal Matrix는 Orthonormal Vector들이 모여 만든 matrix Q로 Q’*Q = I를 성립한다. 따라서, Q’ = (Q의 역)이라면 Q는 Orthonormal Matrix이다. ..