Eigenvalue & Eigenvectors

Eigenvalue & Eigenvectors :: 교유값 & 고유벡터

square matrix A에 대해 Ax = λx에 nonzero vector x가 존재할 때 (invertible 할 때) scalar λ가 eigenvalue, x는 eigenvector라고 불림
(λ, x) eigen pair
eigenvalue : 고유값, eigenvector : 고유벡터

계산

eigenvalue λ, eigenvector x를 알고 싶을 때
Ax = λx ↔ (A - λI)x = 0
↔ (A - λI) singular (x는 nonzerovector이기 때문)
↔ |A - λI| = 0
마지막 방정식을 characteristic polynomial equation(특정다항식)이라고 함→ n*n matrix A에 대해 마지막 방정식의 차수는 n임

특성

1. triangular matrix의 diagonal entries = eigenvalues
2. elimination은 eigenvalues를 보존하지 않는다.
3. n*n matrix A는 최대 n개의 다른 eigenvalues를 가질 수 있다.
4. 모든 λ의 합은 A의 diagonal entries의 합과 같다. (A의 diagonal entries의 합을 trace(A)라 함)
   1. |A-λI| = (λ1 - λ)…(λn-λ) = 0
5. λ1,…,λn은 |A-λI|의 sol
6. λ1λ2λ3…λn = |A|
7. x가 eigenvector면 cx에 대해 c=!0
   1. Ax = λx
   2. A(cx) = cAx = cλx = λ(cx)
   3. cx는 A의 eigenvector
8. λ(A) = {λ1,…,λn}라고 하면 λ(A + cI) = {λ1 + c,…,λn + c}
9. A^k 는 λ1^k, λ2^k, … λn^k를 eigenvalues로 가지고 있음
   1. A^2x = AAx = Aλi x = λiAx = λi * λi * x = (λi)^2x
10. λ(A) + λ(B) = !λ(A + B), λ(A)λ(B) = !λ(AB)

중요한 이유

ex.

matrix A를 위와 같다고 가정해 보자

λ₁ = 1, λ₂ = 0.5

x₁ = [0.6  0.4]', x₂ = [1  -1]'

eigenvalue와 eigenvector를 위와 같이 구할 수 있다.

A = [x₁ + 0.2*x₂* x₁ - 0.3*x₂]

matrix A와 eigenvector는 독립적이지 않으므로 matrix A를 eigenvector를 통해 위와 같이 나타낼 수 있다.
A² = [A*x₁ + 0.2*A*x₂*A*x₁ - 0.3*A*x₂]
A² = [λ₁*x₁ + 0.2*λ₂*x₂*λ₁*x₁ - 0.3*λ₂*x₂]

A³ = [λ₁²*x₁ + 0.2*λ₂²*x₂*λ₁²*x₁ + 0.3*λ₂²*x₂]
A가 여러 번 곱해질 때 eigenvalue와 eigenvector만 제곱하며 쉽게 그 값을 구할 수 있음