Diagonalization.1

Diagonalization :: 대각화

n*n mattix A가 eigenvalues λ₁,  λ₂, …, λₙ 을 가지고 있고, 서로 독립된 eigenvector x₁, x₂, …, xₙ 을 가지고 있다고 가정하자. ((λᵢ, xᵢ)는 eigenpair)

S = [x₁ x₂ … xₙ], Λ = diag(λ₁, λ₂, …, λₙ)라 하면 S⁻¹AS = Λ

증명.

AS = A[x₁  x₂  …  xₙ]

      = [A*x₁  A*x₂  …  A*xₙ]

      = [λ₁*x₁  λ₂*x₂  …  λₙ*xₙ]

      = SΛ

 

Diagonalizale :: 대각가능성

n*n mattix에 대해 n개의 독립적인 eigenvector를 가지고 있어야 함 ↔ diagonalizable

• n개의 다른 eigenvalue를 갖는다면 n개의 독립된 eigenvector를 가질 수밖에 없음

따라서 eigenvalue가 다르면 eigenvector는 독립임. ↔  diagonalizable

• 하지만 eigenvalue가 같다고 독립된 eigenvector가 없는 것은 아님
  • 똑같은 eigenvalue가 i개 있고 똑같은 eigenvalue에 대해 독립된 eigenvecor도 i개가 나오는 경우 → diagonalizable
    • (AM(Arithmetic Multiplicity, 중근) = GM(Geometric Multiplicity, 똑같은 eigenvalue에 대해 독립된 eigenvector가 몇 개가 있는지))
  • 똑같은 eigenvalue가 i개 있고 똑같은 eigenvalue에 대해 독립된 eigenvector가 i개보다 적게 나오는 경우 → diagonalizable하지 않음
    • (AM > GM)

참고. 무조건 GM은 AM보다 같거나 작음

 

• 주의. diagonalizable이 invertible을 나타내는 것은 아님

Computing Aª

A = S*Λ*S⁻¹

Aª = S*Λª*S⁻¹

증명

위를 계속해서 이어가면 된다.

Aª의 수렴

Aª : zero matrix ↔ 모든 i에 대해 |λᵢ| < 1

eigenvalue의 절대값이 1 미만일 경우 a를 무한대로 발산시킬 때 0으로 수렴하기 때문이다.