Symmetric Matrices

Symmetric Matrices :: 대칭 행렬

실수 대칭 행렬은 다음과 같은 성질을 가지고 있음.

성질

1. eigenvalue가 실수이다.
2. orthogonal한 eigenvector를 가진다.

 

Spectral Theorem :: 스펙트럼 정리

모든 symmetric matrix A는 A = QΛQ’으로 diagonalizable하다.

Q : orthonormal eigenvector의 행렬

Λ : 실수 eigenvalue

 

즉, 다음의 성질을 만족한다.

성질 1 : 실수 symmetric matrix는 실수 eigenvalue를 가진다.

성질 2 : 실수 symmetric matrix는 orthogonal eigenvector를 가진다.

 

성질 1 증명

들어가기에 앞서.

Conjugate Transpose

• complex conjugate : 켤레 복소수(허수부분에 -1을 곱한것)
  • ex) a + ib → a - ib
• conjugate transpose : matrix에 conjugate 한 후 transpose를 한 matrix

    x* = conjugate transpose of x

• 성질
  • (x*)* = x
  • (x)* = x → x는 실수임

성질1 증명 요약

x*Ax = λx*x

• (x*Ax)* = x*Ax → x*Ax는 실수임
• (λx*x)* = λx*x → λ는 항상 실수일 수밖에 없음

성질 2 증명

따라서, eigenvecotr x, y는 orthogonal vector임

 

Schur's Theorem :: 슈어 분해

모든 square matrix는 T가 upper triangular 그리고 Q⁻¹ = Q* 인 A = QTQ’를 가지고 있다.

 

만약 A가 실수 행렬이라면 Q’Q = I가 되도록 하는 Q를 real orthogonal matrix로 선택될 수 있다. T는 복소수를 가지고 있을 수 있다.

실수 symmetric matrix A의 inertia(실수 대칭 행렬 A의 관성)은 triple (N₊, N₋, N₀)으로 정의됨.

N₊ : 양수 eigenvalue의 개수, N₋ : 음수 eigenvalue의 개수, N₀ : 0 eigenvalue의 개수

• ex) 1 1 2 -2 0 0 → N₊ : 3, N₋ : 1, N₀ : 2

 

Sylvester's Law Of Inertia(실베스터 관성 법칙)

symmetric matrix A, B가 nonsingular matrix C인 A = CBC’를 만족한다. ↔ A와 B는 같은 inertia를 가지고 있다.

 

A = LDL’ (L : low triangular matrix, D : A의 pivot)

Sylvester’s Law Of Inertia의 필요충분조건에 의해 A와 D는 같은 inertia를 가지고 있다. → A의 eigenvalue 중 양수(음수, 0)의 개수는 D의 양수(음수, 0) pivot개수(eigenvalue 개수)와 같다.

만약 실수 대칭 행렬 A가 음수가 아닌 eigenvalues를 가지고 있다면, A의 rank는 nonzero eigenvalue의 개수와 같다.